Définition :
Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite réelle
On dit que \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge (ou tend) vers \(\ell\in\Bbb R\) si $$\forall\varepsilon\gt 0,\exists N\in\Bbb N,\forall n\in\Bbb N,\quad n\geqslant N\implies\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon$$
On note \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=\ell\) ou \(u_n\underset{n\to+\infty}\longrightarrow\ell\)
(//Limite)
Remarque : $${{\lvert u_n-\ell\rvert\lt \varepsilon}}\iff{{ u_n\in]\ell-\varepsilon,\ell+\varepsilon[}}$$
Proposition :
Toute suite convergente est bornée
(Suite bornée)
Propriété élémentaire des suites réelles :
Suites telles que \(\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\lt 1\)
Théorème :
Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite réelle et supposons \(\exists n_0\in\Bbb N,\exists0\lt \ell\lt 1\) tels que pour tout \(n\gt n_0\), \(u_n\neq0\) et \(\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\leqslant\ell\)
Alors \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) converge et \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=0\)
Corollaire :
Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite tellequ'il existe \(n_0\in\Bbb N\) tel que \((n\geqslant n_0\implies u_n\neq0)\) et \(\underset{n\to+\infty}\lim\frac{u_{n+1} }{u_n}=0\)
Alors \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=0\)
Théorème :
Soit \((u_n)_{n\in\Bbb N}\) une suite réelle
Supposons qu'il existe \(n_0\in\Bbb N\) et \(\ell\gt 1\) tels que, pour tout \(n\geqslant n_0\), \(u_n\neq0\) et \(\left\lvert\frac{u_{n+1} }{u_n}\right\rvert\geqslant\ell\)
Alors \(\underset{n\to+\infty}\lim u_n=+\infty\)